機器學習的原始理論主要是設計和分析一些可以讓電腦自動學習的演算法，進而產生可以預測未來趨勢或是尋找數據間的規律然後獲得我們想要的結果。若是用演算法看待，可以將機器學習視為是滿足下列的系統。
1：機器學習是一個函數，函數模型是由真實數據訓練產生。
2：機器學習函數模型產生後，可以接收輸入數據，映射結果數據。
微積分是理工與商科大學一年級的基礎課程，也是許多理學院、工學院或是商管學院研究所考試的必考科目。在學期間的考試或是研究所的考試，為了測出同學間的程度，所以部分考題有點困難，也成了許多學生的噩夢，讓他們的歐趴危機四伏。但如果了解了微積分而更深入精通函數的精神與內涵，可以為未來設計機器學習相關應用奠定良好的基礎，可說是一輩子的福氣，受用無窮。首先，讓我們從極限開始說起。
金門高粱?
稀釋金門高粱酒的酒精濃度
金門高粱酒的酒精含量為58%，如果倒掉半瓶然後加入等量的水，這時金門高粱酒的酒精含量變成29%，如果一直重複此步驟，高粱酒的酒精含量會持續降低，如下所示:
58%,29%,14.5%,…
假設金門高粱酒酒精含量的變數是y(單位:%)，則最開始y=58%，假設稀釋酒精次數是x次，則可以使用下列函數代表此高粱酒的酒精稀釋的過程與結果:
程式實例ch2_1.py：在上述高粱酒的酒精稀釋的過程，計算當酒精稀釋次數
x從0至10時，酒精濃度(含量)的變化過程。
執行結果:
程式實例ch2_2.py:重新設計ch2_1.py，使用圖表方式表達。
執行結果:
從前面2個程式實例可以看到，當x值(稀釋金門高粱酒的酒精濃度次數)越來越大時，甚至趨近於無限大時，y值(酒精的濃度)將越來越小，y=0.00...001，最後趨近於0。
極限值的數學表示方式
在數學表達式中，無窮大的表示方式為：∞
如果還要細分，可以稱上述是正無窮大，負無窮大的表示方式為：-∞
不過通常無窮大，不特別指明，就是指正無窮大∞。
變數趨近極限值
極限的符號是，如果要表達變數趨近於無窮大時，可以使用此公式表達：
調整金門高粱酒酒精濃度的表達方式
依循上述的觀念，可以使用下列方式表達金門高粱酒的稀釋公式：
完整表達公式
從前面程式實例可以看到，當x值(稀釋金門高粱酒的酒精濃度次數)越來越大時，y值(酒精的濃度)將越來越小，y=0.00...001。
如果我們想要表達當x趨近於無窮大∞時，酒精濃度將趨近於0，可以使用下列方式表達。
觀念總結
理論上不論如何稀釋酒精濃度，酒精含量一定存在，如果連續不中斷的稀釋此金門高粱，我們可以將酒精濃度視為是0。我們可以使用下圖更完整的表達此觀念。
極限
極限是數學基礎觀念中很重要的一個觀念，也是學習微積分的基本概念，主要是描述一個序列的指標越來越大時，數列中元素的性質變化。
或是描述當一個函數的自變數越來越接近某一個數值時，此函數的變化趨勢。
數列實例
有一個數列如下：
當n趨近於無窮大∞時，上述結果如下：
完整的公式表達如下：
程式實例ch2_3.py：繪圖表現此數列n值從1至100的結果。
執行結果:
函數實例
前面介紹了金門高粱酒的稀釋過程，其實最後推導出的函數就是函數的極限實例。
收斂與發散
當函數的自變數取極限趨近某一個數值後的樣貌是什麼？這就是本節要提的收斂(Convergence)與發散(Divergence)。
(編:極限值趨近某一個數值，此數值不一定是無窮大，可以是0或1或其他值。)
收斂(Convergence)
當函數的自變數取極限趨近於一個值，函數最後所得到的結果趨近於一個值，我們稱此為收斂。請參考先前金門高粱酒的稀釋實例，當稀釋次數到達無窮大∞後，可以得到此函數的結果是趨近於0，這時我們稱此函數結果是收斂。
下列是圖表說明，當酒精稀釋次數趨近於無窮大∞時，結果趨近於0。
發散(Divergence)
當函數的自變數取極限趨近於一個值，函數最後所得到的結果無法趨近於一個值，而是函數的結果變得更大或更小，我們稱此為發散。例如：
上述公式如果x值從正值右邊趨近於0 時，y值將持續變大，最後y值將成為無限大∞，這種結果我們稱發散。可以使用下列公式表達。
上述
表示是從右邊趨近於0，最後發散至∞。
程式實例ch2_4.py：用此節實例設計x值從1.0至0.01的結果。
執行結果:
上述相同公式，但是讓x值從負值向0趨近，整個公式表達如下：
上述
表示是從左邊趨近於0，最後發散至-∞。
程式實例ch2_5.py：使用相同程式，但是讓x值從-1向-0.01趨近，使用圖表解釋，同時列出結果。為了與前一個程式有區別，讀者容易了解筆者特別繪製
座標軸的軸是從-1到1，y軸是從-101到101。
執行結果:
看完了這篇文章，對於極限這個概念有沒有更加了解呢?
